可惜流光
0%

1-线性空间与线性算子

Posted on Edited on In Symbols count in article: 12k

一、线性空间与线性算子

定义1.1定义了加法和数乘两种运算，并满足以下性质的集合\(V\)称为数域\(F\)上的线性空间。

数域\(F\)上的集合\(V\)中定义了下列两种数学运算，第一种运算是加法，记作\(+\)，且对\(\forall x,y \in V\)，定义\(x + y \in V\)，且满足：

  1. 交换律 \(x + y = y + x\)

  2. 结合律 \(x + (y + z) = (x + y) + z\)

  3. 存在唯一的零元素，记作\(0\), \(x + 0 = x\)

  4. 加法的逆运算，记作 - ： \(x + ( - x) \equiv x - x = 0\)

第二种是数乘运算，对\(\forall k \in F,x \in V\)，定义\(kx\)满足：

  1. \(kx \in V\)

  2. 结合律\(k(\alpha x) = (k\alpha)x\)

  3. 分配律\(k(x + y) = kx + ky\)，\((a + b)x = ax + by\)

  4. \(F\)中存在单位元（记成\(1\)），满足\(1x = x\)

线性空间中的元素往往称为向量。

定义1.2设\(V\)是数域\(F\)上的线性空间，\(x_{1}.x_{2},\ldots,x_{n}\)是\(V\)的向量，\(\lambda_{i} \in F(i = 1,2,\ldots,n)\).称\(V\)的元素

\[x = \lambda_{1}x_{1} + \lambda_{2}x_{2}, + \ldots + \lambda_{n}x_{n}\]

是向量系\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\)的线性组合。也称向量（元素）\(x\)可由\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\)线性表示出来。

定义1.3设\(V\)是数域\(F\)上的线性空间，\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)和\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{s}\)是\(V\)中的两组向量系，如果\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)中的每个向量都可由向量系\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{s}\)线性表示；而\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{s}\)中的每个向量也可以由向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)线性表示，则称这两组向量系是等价的。显然向量系的这种等价性具有自反性、对称性和传递性。

定义1.4设\(V\)是数域\(F\)上的线性空间，\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}(r \geq 1)\)是\(V\)中的一组向量，如果存在一组不全为0的数\(k_{1},k_{2},\ldots,k_{r} \in F\)，使得\(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \ldots + k_{r}\alpha_{r} = 0\)，则称向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)是线性相关的，反之就是线性无关的。这就是说一组向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合；如果向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)线性无关，这意味着，仅有当\(k_{1} = k_{2} = \ldots = k_{r} = 0\)时，才有\(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \ldots + k_{r}\alpha_{r} = 0\)成立。

定理1.1设\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)是线性空间\(V\)中的一组线性无关的向量系，并且可由向量系\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{s}\)线性表示，则必有\(r \leq s\) (证明：利用反证法和齐次线性方程组)

推论：两个等价的线性无关的向量系必定含有相同个数的向量。

定理1.2设线性空间\(V\)中向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)线性无关，而向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r},\beta\)线性相关，则\(\beta\)可由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)线性表示，并且是唯一的。（证明存在性和唯一性，通过假设）

定义1.5设\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{s}\)是线性空间\(V\)中的一组向量，如果这一组向量系中存在\(r\)个线性无关的向量\(\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\ldots,\alpha_{i_{r}}(1 \leq i_{j} \leq s,j = 1:r)\)，并且\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{s}\)中任一向量都可以由向量系\(\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\ldots,\alpha_{i_{r}}\)唯一的线性表示出来，则称向量组\(\alpha_{i_{1}},\alpha_{i_{2}},\ldots,\alpha_{i_{r}}\)是\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{s}\)的极大线性无关组，称\(r\)是向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{s}\)的秩（rank），记为\(rank\{\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{s}\} = r\)。 一般来说，向量系的极大线性无关组不唯一，但其所含向量的个数是唯一的。

基底、维数与坐标

1.在无穷多个向量中找到有限个具有代表性的向量

2.线性空间中的向量是抽象的，是否可以把这抽象的向量和具体的数组向量\((a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\)相对应，把抽象的线性空间的线性运算转化为数组向量的线性运算。

定义1.6线性空间\(V\)中若存在有\(n\)个线性无关的向量，而任何\(n + 1\)个向量都是线性相关的，则称\(V\)是\(n\)维的，记为\(\dim(V) = n\);如果在\(V\)中可以找到任意多个线性无关的向量，则称\(V\)是无限维的。

例如数域\(F\)上的一元多项式的全体组成的线性空间\(P(x)\)是无限维的，因为对于任意的正整数\(n,1,x,x^{2},\ldots,x^{n - 1}\)都是线性无关的。

定理1.3如果线性空间\(V\)中有\(n\)个线性无关的向量\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)，并且\(V\)中任一向量都可以由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)唯一地线性表示出来，则\(\dim(V) = n\)

定义1.7设\(V\)是数域\(F\)上的\(n\)维线性空间，则\(V\)中一定存在一组线性无关的向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)，使得\(V\)中任一向量都可以唯一的表示成\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)的线性组合，则\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)称为\(V\)的一组基底。

若\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)是\(V\)的一组基底，则\(\forall\alpha \in V\)可以唯一的表示成\(\alpha = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \ldots + x_{n}\alpha_{n}\)，其中\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\)称为\(\alpha\)在基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)下的坐标，记为\((x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\)或\((x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})^{T}\)。

定理1.4在\(n\)维线性空间\(V\)中，任意一个线性无关的向量系\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}\)都可以扩充成\(V\)的一组基。

向量的稀疏表示和压缩感知

一个向量仅用少量的基本向量的线性组合表示出来，就叫向量的稀疏表示；同样使用少量基本信号的线性组合就把一个目标信号表示出来，这就称为信号的稀疏表示。

一个含有大多数零元素的向量或者矩阵就称为稀疏向量或稀疏矩阵（sparse vector，sparse matrix）

一个信号向量\(x \in R^{N}\)，它在一组\(N\)个\(N\)维的正交向量\(g_{1},g_{2},\ldots,g_{N}\)基底下，一定可以唯一地表示成

\[x = Gc = \sum_{i = 1}^{N}c_{i}g_{i}\]

压缩感知

奈奎斯特（Nyquist）采样定理：采样速率必须达到信号带宽的两倍以上才能精确重构信号。

对于一个\(N\)维向量\(x \in R^{N}\)，如果\(x\)仅由少量非零元素，就称\(x\)是稀疏向量；如果在一个\(N \times N\)的正交矩阵\(\Psi\)下表示是稀疏的，就是\(\theta = \Psi x\) 而\(\theta\)仅有少量非零元素，或者\(\theta\)绝大部分元素的绝对值接近于0，我们就称\(x\)是可压缩向量，\(\Psi\)称为稀疏压缩基矩阵。

压缩感知理论与传统奈奎斯特采样定理不同。压缩感知理论指出，只要信号向量是可压缩的那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵\(\Phi\)将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。

感知矩阵\(A = \Phi\Psi \in R^{M \times N}\)，感知向量\(y = Ax \in R^{M},N > > M\)。

求亚定线性系统\(Ax = y\)的最稀疏解。

对字典(矩阵)\(A \in R^{M \times N}\)通常作如下假设：

  1. \(A\)的行数\(M\)小于列数\(N\)

  2. \(A\)具有满行秩，即\(rank(A) = M;\)

  3. \(A\)的列具有单位\(Euclidean\)范数\(\parallel a_{j} \parallel_{2} = 1,j = 1,2,\ldots,N\)

求解亚定方程组有两种常用的方法：

  1. 贪婪类算法：逐次确定残量最线性相关的原子，组成支撑集。因为稀疏重构的问题从根本上来说，就是确定与\(y\)线性相关的最小秩空间。就是确定\(\min\{ Rank\lbrack a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{iK}\rbrack\}\)线性相关。

  2. 现代方法：求最小\(L_{0}\)拟范数解

\[\min \parallel x \parallel_{0}\mspace{6mu} subject\mspace{6mu} to\mspace{6mu} Ax = y\]

  1. NP问题，在一定条件下可以用

\[\min \parallel x \parallel_{1}\mspace{6mu} subject\mspace{6mu} to\mspace{6mu} Ax = y\]

  1. 这是凸优化问题，可以用线性规划方法求解。

线性空间的子空间

定义1.8设\(S \subset V\)是线性空间\(V\)的一个子集，如果对\(\forall x,y \in S,\alpha \in F\)都有\(x + y \in S,\alpha x \in S\)，则称\(S\)是\(V\)的一个子空间（subspace）。

向量系的生成子空间（线性包）

设\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\)是线性空间\(V\)中的元素，令

\[W = \{ k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2} + \ldots + k_{n}x_{n}|k_{i} \in F\}\]

则称集合\(W\)是由向量系\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\)生成的线性子空间（spanned subspace），也称为向量系\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\)的线性包。记为

\[W = span\{ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\} = \{ k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2} + \ldots + k_{n}x_{n}|k_{i} \in F\}\]

线性空间的交空间、和空间

假设\(W_{1},W_{2}\)是\(V\)的子空间，令

交空间（intersection）：\(W_{1} \cap W_{2} = \{\alpha|\alpha \in W_{1}\mspace{6mu} and\mspace{6mu}\alpha \in W_{2}\}\)

和空间（sum）:\(W_{1} + W_{2} = \{\alpha + \beta|\alpha \in W_{1},\beta \in W_{2}\}\)

平凡子空间：每个线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅有零元素组成的子空间称为零子空间，这两个子空间称为平凡子空间（trival subspace）

\(A\)的零空间和像空间

设\(A \in F^{m \times n}\)，则满足\(Ax = 0\)的所有\(x \in F^{n}\)构成了\(F^{n}\)上的子空间，称为\(A\)的零空间，记为\(N(A)\).即\(N(A) = \{ x|Ax = 0,x \in F^{n}\}\)

定义\(R(A) \equiv \{ y \in F^{m}|y = Ax,\forall x \in F^{n}\}\)，\(R(A)\)为\(A\)的像空间。

直接和空间

定义1.11如果\(V_{1} + V_{2}\)中的任一向量只能唯一地表示为子空间\(V_{1}\)的一个向量与子空间\(V_{2}\)的一个向量的和，则称\(V_{1} + V_{2}\)为直和（或直接和），记为\(V_{1} \oplus V_{2}\)

定理1.5\(V_{1} + V_{2}\)为直接和的充要条件是：\(V_{1}\)与\(V_{2}\)之交\(V_{1} \cap V_{2}\)为零空间，即\(V_{1} \cap V_{2} = \{ 0\}\)

推论1.1\(V_{1} + V_{2}\)为直接和的充要条件为\(\dim(V_{1} + V_{2}) = \dim V_{1} + \dim V_{2}\)

推论1.2设\(V_{1} + V_{2}\)为直接和，若\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{r}\)是\(V_{1}\)的一组基，\(y_{1},y_{2},\ldots,y_{k}\)是\(V_{2}\)的一组基，则\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{r}\),\(y_{1},y_{2},\ldots,y_{k}\)是\(V_{1} \oplus V_{2}\)的一组基。

定理1.6设\(V_{1}\)是\(n\)维线性空间\(V\)的一个子空间，则一定存在\(V\)的一个子空间\(V_{2}\)，使得\(V = V_{1} \oplus V_{2}\).

超平面

由线性空间的定义可知，线性空间一定经过原点，有时我们也需讨论不通过坐标原点的平面和直线，这就是所谓的超平面。

设\(S\)是线性空间\(V\)的一个子空间，\(x_{0}\)是一个固定的向量，一般地不属于\(S\)，考虑集合\(H = \{ x|x = x_{0} + y,y \in S\}\)，也就是说\(y\)是在整个子空间\(S\)内移动，这时集合\(H\)称为子空间\(S\)按向量\(x_{0}\)移动得到的超平面。

以子空间的维数作为超平面的维数。需要证明：对于给定的超平面\(H\)，经过平移得到子空间是唯一的。

线性空间的基底变换与转移矩阵

定义1.13设\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)与\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}\)是线性空间\(V\)的两组基，且

\[\lbrack\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}\rbrack = \lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\rbrack P\]

其中\(P = \lbrack p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}\rbrack\)，其第\(i\)列是\(\beta_{i}\)在\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)基底下的坐标，\(P\)可逆，称\(P\)为由基\(\{\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\}\)到基\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}\)的转移（换）矩阵。

设\(s \in V\)在基\(\{\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\}\)下的坐标是\(x\)，在基\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}\)下的坐标为\(y\)，则有\(x = Py\)或者\(y = P^{- 1}x\)

为了研究线性空间之间的关系，这里引进线性算子的概念，而抽象的线性算子又与具体的矩阵发生联系。

定义1.14设\(X\)和\(Y\)都是数域\(F\)上的线性空间，若映射\(T:X \rightarrow Y\)满足条件：

  1. \(T(x_{1} + x_{2}) = Tx_{1} + Tx_{2}\)

  2. \(T(\lambda x) = \lambda Tx\)

则称\(T\)是从\(X\)到\(Y\)的线性算子（或者线性映射）。

若\(Tx = y\)，则\(y\)称为\(x\)在线性映射\(T\)下的像，\(x\)称为\(y\)的原像。

线性空间\(X\)到自身的线性算子\(\sigma\)也称为\(X\)上的线性变换；

线性空间\(X\)到数域\(F\)的线性算子\(f\)称为\(X\)上的线性泛函。

设\(X\)和\(Y\)是\(F\)上的线性空间，\(T:X \rightarrow Y\)是线性算子，则

  1. \(T(0) = 0\), \(T( - x) = - T(x),\forall x \in X;\)

  2. \(T(\lambda_{1}x_{1} + \lambda_{2}x_{2} + \ldots + \lambda_{n}x_{n}) = \lambda_{1}T(x_{1}) + \lambda_{2}T(x_{2}) + \ldots + \lambda_{n}T(x_{n})\)

  3. 若\(\{ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\}\)是\(X\)中的线性相关系，则\(\{ T(x_{1}),T(x_{2}),\ldots,T(x_{n})\}\)是\(Y\)中的线性相关系，反之不真。

定义1.15设\(X\)和\(Y\)是\(F\)上的线性空间，映射\(T:X \rightarrow Y\)，则

\[N(T) = \{ x \in X|Tx = 0\}\]

称为\(T\)的零空间；

\[R(T) = \{ y \in Y|Tx = y,\forall x \in X\}\]

称为\(T\)的像空间；

容易证明\(N(T)\)是\(X\)的线性子空间，\(R(T)\)是\(Y\)的线性子空间。

同构算子与线性空间同构

定义1.16设\(X,Y\)是线性空间，\(T:X \rightarrow Y\)的线性算子，且是“一对一”的，即满足

  1. \(T(X) = Y\)(全映射)

  2. 若\(x_{1},x_{2} \in X\)，当\(x_{1} \neq x_{2}\)，有\(T(x_{1}) \neq T(x_{2})\);也就是说，由\(T(x_{1}) = T(x_{2})\)，就有\(x_{1} = x_{2}\)（可逆映射）。那么就称\(T\)为\(X\)与\(Y\)间的一个同构算子(isomorphism).

若\(X\)与\(Y\)之间存在同构算子，则称\(X\)与\(Y\)是同构线性空间，简称\(X\)与\(Y\)同构。简单的说“一对一”的线性算子称为同构算子。

同构线性空间的基本性质：

  1. 传递性：设\(V_{1},V_{2},V_{3}\)是数域\(F\)上的线性空间，如果\(V_{1}\)与\(V_{2}\)同构，\(V_{2}\)与\(V_{3}\)同构，则\(V_{1}\)与\(V_{3}\)也同构。

  2. 同构的线性空间中的零向量必定是互相对应的。

  3. 同构的线性空间中的线性相关向量系对应于线性相关向量系，线性无关向量系对应于线性无关向量系。

定理 任何两个\(n\)维线性空间\(V_{1}\)和\(V_{2}\)都是同构的。

推论1.3数域\(F\)上的任何\(n\)维线性空间\(V^{n}\)都与特殊的线性空间\(F^{n} = \{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})|a_{i} \in F\}\)同构。

这就是说引入同构的概念给研究抽象的线性空间\(V^{n}\)带来了极大的方便，即使\(V^{n}\)可以代表不同的线性空间，其元素可能完全不同，研究的问题也不一样，但利用同构关系都可以将\(V^{n}\)中的问题通过基转化到向量空间\(F^{n}\)中的问题加以研究。

线性算子的矩阵表示

定义1.17设\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)是\(n\)维线性空间\(V^{n}\)的一组基，\(T\)是由\(V^{n}\)到\(m\)维线性空间\(V^{m}\)的线性算子，则\(T(\alpha_{1}),T(\alpha_{2}),\ldots,T(\alpha_{n}) \in V^{m}\)叫做\(V^{n}\)在算子\(T\)下的基像。

要确定一个线性算子\(T\)，只需要确定\(V^{n}\)的基像。

定义1.18设\(T_{1}\)与\(T_{2}\)是由\(V^{n}\)到\(V^{m}\)的两个线性算子，如果对于任何\(x \in V^{n}\)恒有

\[T_{1}(x) = T_{2}(x) \in V^{m}\]

则说线性算子\(T_{1}\)与\(T_{2}\)相等。

定理1.8 由\(V^{n}\)到\(V^{m}\)的线性算子\(T\)由基像\(T(\alpha_{1}),T(\alpha_{2}),\ldots,T(\alpha_{n})\)唯一确定。

要建立线性算子与具体的矩阵之间的联系，只要考察它的一组基像的坐标即可。

设\(V^{n},V^{m}\)分别是\(n\)维，\(m\)维线性空间，\(T:V^{n} \rightarrow V^{m}\)的线性算子，设\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)为\(V^{n}\)的一组基底；\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{m}\)是\(V^{m}\)的一组基底。

令

\[T(\alpha_{i}) = \sum_{j = 1}^{m}a_{ji}\beta_{j},\quad i = 1,2,\ldots,n\]

则有

\[T(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}) = (\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{m})A\]

其中

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\]

定义1.19 上式矩阵\(A\)称为线性算子\(T\)在\(V^{n}\)的基底\(\{\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\}\)与\(V^{m}\)的\(\{\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{m}\}\)下的矩阵表示。

定理1.9 若\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)是\(n\)维线性空间\(V^{n}\)的一组基，而\(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\)是\(m\)维线性空间\(V^{m}\)中的任意\(n\)个向量，则存在唯一的线性算子\(T\)，把\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)分别映射为\(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\)，即

\[y_{i} = T(\alpha_{i}),\quad i = 1,2,\ldots,n\]

由 \(V^{n}\)到\(V^{m}\)线性算子是由其基像\(\{ T(\alpha_{i})\}_{i = 1}^{n}\)唯一确定。

线性算子的运算

设\(V_{1},V_{2},V_{3}\)是数域\(F\)上的线性空间，把\(V_{1}\)到\(V_{2}\)的所有线性算子组成的集合记为\(L(V_{1},V_{2})\)，类似地将\(L(V_{2},V_{3})\)和\(L(V_{1},V_{3})\)分别表示\(V_{2}\)到\(V_{3}\)和\(V_{1}\)到\(V_{3}\)的所有线性算子的集合。

定义1.20 设\(T_{1},T_{2} \in L(V_{1},V_{2})\)，则定义线性算子\(T_{1}\)与\(T_{2}\)的和为\((T_{1} + T_{2})(x) \equiv T_{1}(x) + T_{2}(x),\quad\forall x \in V_{1}\)

又设\(T_{1} \in L(V_{1},V_{2}),T_{2} \in L(V_{2},V_{3})\)，则定义\(T_{2}T_{1}\)为\(T_{1}\)与\(T_{2}\)的积

\[T_{2}T_{1}(x) \equiv T_{2}(T_{1}(x)),\quad\forall x \in V_{1}\]

显然\(T_{2}T_{1}\)是\(V_{1}\)到\(V_{3}\)的算子。

定理1.10（1）设\(T_{1},T_{2} \in L(V_{1},V_{2})\)，则\(T_{1} + T_{2} \in L(V_{1},V_{2})\);

(2)设\(T_{1} \in L(V_{1},V_{2}),T_{2} \in L(V_{2},V_{3})\)，则\(T_{2}T_{1} \in L(V_{1},V_{3})\).

线性变换与方阵

定义1.19有\(V\)到\(V\)的线性算子\(T:V \rightarrow V\)称为\(V\)上的线性变换。在\(V\)给定的基底下，它的矩阵表示是方阵。

定义1.20如果对于\(\forall x \in V\)，恒有\(T(x) = x\)，则称\(T\)是恒等变换或单位变换，它的矩阵表示是单位矩阵\(I\)。

线性空间\(V\)上的线性变换\(T\)称为可逆的，如果有\(V\)上的线性变换\(G\)存在，使得\(TG = GT = I\)，我们就称\(G\)为\(T\)的逆变换，记作\(T^{- 1}\).

定理1.10 设给定\(n\)维线性空间\(V\)上的一组基底，则\(V\)上的线性变换\(T\)对应于一个\(n \times n\)矩阵，这种对应具有性质：

  1. 线性变换的和对应于矩阵的和；

  2. 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；

  3. 线性变换与数的乘积对应于矩阵与数的乘积；

  4. 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

线性算子在不同基底下的矩阵表示

讨论同一个线性算子在\(V\)的不同基底下的矩阵表示有些什么关系。

同一个线性变换在不同基底下的矩阵表示是不一样的。

定义1.21如果\(A\)和\(B\)是数域\(F\)上的两个\(n\)阶矩阵，且可找到\(F\)上的\(n\)阶非奇异矩阵\(P\)，是的\(B = P^{- 1}AP\)，则称\(A\)与\(B\)相似，记为\(A \sim B\)。

定理1.11 假设线性空间\(V^{n}\)的线性变换\(T\)，对于基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)下的矩阵表示为\(A\)，对于另一组基\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}\)下的矩阵表示是\(B\)，且由基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\)到基\(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}\)的转移矩阵是\(P\)，则有

\[B = P^{- 1}AP\]

小结：可以利用相似，在已知两组基底和其中一组基底下的线性变换的矩阵表示后，方便的求出另外一组基底下的矩阵表示。

定义1.22设\(A\)与\(B\)都是\(m \times n\)矩阵，如果存在非奇异的\(m\)阶方阵和\(n\)阶方阵\(C\)，使得

\[B = DAC\]

成立。 则称矩阵\(A\)与\(B\)是相抵的，记为\(A \simeq B\)。

相抵的几何意义是：在两个不同维的线性空间\(V^{n}\)和\(V^{m}\)中，同一个线性算子\(T\)在不同的基偶下所对应的矩阵\(A\)与\(B\)之间的关系。

定义1.23设\(A\)与\(B\)是两个\(n\)阶方阵，如果存在非奇异的\(n\)阶方阵\(C\)，使得\(B = C^{T}AC\)则称矩阵\(A\)与\(B\)是相合（或合同）的。